4個4
在看涼宮春日小說時，偶然看到了「4 個 4」這樣一個有趣的數學遊戲。簡單來說，「4 個 4」的玩法就是利用四個 4，加上數學運算符號，用來組合出各種不同的數字。例如以下是 1 ~ 4 的解法：
- ( 4 + 4 ) ÷ ( 4 + 4 )
- ( 4 ÷ 4 ) + ( 4 ÷ 4 )
- ( 4 + 4 + 4 ) ÷ 4
- 4 + 4 × ( 4 - 4 )
原本我以為這個遊戲的目標不外乎是針對一些比較小的正整數，例如將小於 20 的正整數用四個 4 來進行組合。但是搜尋了一下，發現沒有這麼簡單，「四個4組成100」這個網頁就提供 1 ~ 100（其中缺了 73, 77, 87, 93, 99 五個數）的四個 4 解法。當然，要提供那麼多的變化，光是加減乘除與括號的四則運算是遠遠不夠的，根據「維基百科 - 4個4 條目」上的說明，可使用的數學符號如下：
- 四則運算符號和括號
- 冪
- 小數點
- 平方根
- 階乘
- 循環小數的點
- 百分號
- Gamma 函數
- 不容許使用對數符號
不能使用對數符號的原因是，這樣一來「4個4遊戲」就有一般解了。不過那個一般解公式也不是很直覺，其實就連上面提到的 Gamma 函數也不直覺，至少對我而言是比較陌生的。
為了找出上面提到的 73, 77, 87, 93, 99 五個數的解，我建了一個表格用來記錄 1 ～ 125 之間的數字，最少需要用幾個 4 來構成。例如 2, 24 這兩個數可用一個 4 來構成，分別是使用平方根與階乘；而 12, 22, 26, 48 則可用兩個 4 來構成，將 2, 24 這兩個數進行加減乘除四則運算即可。可惜表建完了，卻仍舊無法解開未知的五個數。
後來又上網查了一下，發現關鍵在於「循環小數的點」這個記號。以「`」（鍵盤左側數字 1 左邊的按鍵）為記，「.4`」表示「0.444444……」，也就是「4/9」。進一步說，我們只要使用兩個 4 就可以得到數字 9：
9 = 4 ÷ .4`
上面的式子再多開一次平方根就是數字 3。我在之前的計算中， 3 和 9 這兩個數字都得透過三個 4 來達成，現在只要兩個 4 就可以搞定。解開這道關卡，瞬間就把 73, 77, 87, 93, 99 五個數字搞定了。
延伸閱讀：4444 problem